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高考这种立体几何二面角问题,真是有一道就够了,忒烧脑了

发布日期:2022-05-26 14:58    点击次数:134

  

高考这种立体几何二面角问题,真是有一道就够了,忒烧脑了

老黄自己是最怕空间几何问题的,因为老黄的空间想象能力几乎等于0. 不过学习就是这样,必须要迎难而上,这样才能真正锻炼自己的能力。只是高考这样的立体几何问题,真的是有一道就够了,这也忒烧脑了啦!看看这道二面角问题:

如图, 在圆柱OO1中,四边形ABCD是其轴截面,EF为⊙O1的直径,且EF⊥CD,AB=2,BC=a(a>1).

(1)求证:BE=BF;

(2)若直线AE与平面BEF所成角的正弦值为√6/3, 求二面角A-BE-F平面角的余弦值.

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【第一小题按惯例,都是送分的,老黄就不罗嗦了,如果连第一小题都看不懂,第二小题解析了,也不会看得懂的】

(1)证明:由AD⊥⊙O1, 有EF⊥AD,

又EF⊥CD,∴EF⊥平面ABCD,

连接BO1, 则BO1⊂平面ABCD,∴EF⊥BO1,

又EO1=FO1,∴BE=BF.

【第二小题有三个关键,一是找到直线AE与平面BEF所成的角;二是找到二面角A-BE-F的平面角;三是求a值。特别是第三点,有可能会被遗漏掉,如果结果含有a,肯定要被扣掉大部分的分数的】

(2)解:过A作AG⊥BO1于点G ,则AG⊥平面BEF,【因为AG同时还垂直于EF】

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连接EG,则sin∠AEG =AG/AE=根号6 /3 ,【角AEG就是直线AE与平面BEF所成的角】

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过A作AH⊥BE于点H ,连接GH,∠AHG就是二面角A-BE-F的平面角, 【过程虽然看似简单,但这里面含着找二面角的重要方法,一定要好好领会,掌握起来哦。这里GH也垂直于BE,且在平面BEF内】

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连接CE,则CE=根号2CO1=根号2AB/2=根号2,

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在Rt△BCE中,BE=根号(BC^2+CE^2)=根号(a^2+2)=AE.【BE=AE与(1)的结论同理】

连接AO1, 则AO1=BO1=根号(BC^2+O1C^2)=根号(a^2+1). 【终于把辅助线全部作完了】

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AG·BO1=BC·AB,【左边是三角形AO1B面积的两倍,右边是矩形ABCD的面积,它们是相等的】

AG=BC·AB/BO1=2a/根号(a^2+1),

又AG=根号6AE/3=根号(6a^2+12)/3=2a/根号(a^2+1), ∴a=根号.【a还有三个解,都不合理,直接被舍去了】

所以BE=AE=2=AB,AG=2根号6/3,

AH=根号3 BE/2=根号3【这是等边三角形ABE的高AH与边BE的数量关系】

在Rt△AGH中,GH=根号(AH^2-AG^2)=1/根号3,

所以cos∠AHG=GH/AH=1/3.

别说解决了,这样的题想看明白答案都挺有难度的,您觉得呢?

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